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Matemática 51
2024
ROSSOMANDO
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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA ROSSOMANDO
5.
Hallar $f^{-1}(x)$. Dar dominio e imagen.
e) $f(x)=e^{-3x+2}+3$
e) $f(x)=e^{-3x+2}+3$
Respuesta
Primero hallemos la inversa. Acordate que podés hacer el cambio de variable al comienzo (y en ese caso despejar $y$) o al final (y en ese caso despejar $x$). Ambas formas son válidas, de hecho, son lo mismo, pero sé que hay profes que lo hacen de diferente forma, por eso te lo aclaro.
$
\begin{gathered}
y=e^{-3 x+2}+3 \\
y-3=e^{-3 x+2} \\
\ln (y-3)=-3 x+2 \\
\ln (y-3)-2=-3 x \\
\frac{\ln (y-3)-2}{-3}=x \\
\frac{\ln (x-3)-2}{-3}=y^{-1}
\end{gathered}
$
Hallemos el dominio de la inversa:
Tenemos la restricción de dominio
$x-3>0$
$x>3$
$Domf^{-1}=(3 ;+\infty)$
Hallemos la imagen de la inversa:
La imagen de la función inversa será el dominio de la función original, que por ser una exponencial (y no presentar resitricciones de dominio) diremos que son todos los números reales.
$Imf^{-1} = Domf^{1} = \Re$